Удивительные фигуры в геометрии

Лента Мебиуса

Это одна из самых необыкновенных трехмерных фигур в геометрии, которую легко сделать в домашних условиях. Для этого достаточно взять бумажную полоску, ширина которой в 5-6 раз меньше ее длины, и, перекрутив один из концов на 180°, склеить их между собой.

Если все сделано правильно, то можно проверить самостоятельно ее удивительные свойства:

  • Наличие только одной стороны (без разделения на внутреннюю и внешнюю). Это легко проверить, если попробовать закрасить карандашом одну из ее сторон. Независимо от того, в каком месте и направлении будет начато закрашивание, в результате вся лента будет закрашена одним цветом.
  • Непрерывность: если вести ручкой линию вдоль всей поверхности, ее конец соединится с начальной точкой без пересечения границ поверхности.
  • Двухмерность (связность): при разрезании ленты Мебиуса вдоль она остается цельной, просто получаются новые фигуры (к примеру, при разрезании надвое получится одно кольцо большего размера).
  • Отсутствие ориентированности. Путешествие по такой ленте Мебиуса всегда будет бесконечным, оно приведет к начальной точке пути, только в зеркальном отображении.

Лента Мебиуса широко используется в промышленности и науке (в ленточных конвейерах, матричных принтерах, механизмах для заточки и пр.). Кроме этого существует научная гипотеза, по которой сама Вселенная также представляет собой ленту Мебиуса невероятных размеров.

Базовые геометрические объекты

Базовые геометрические фигуры — это точки, отрезки, лучи, прямые, плоскости.

Точка — это идеальный математический объект, у которого нет длины и ширины.

Отрезок — это часть прямой, у которого есть начало и конец.

Смежные отрезки — это отрезки, которые не лежат на одной прямой и имеют один общий конец. На рисунке изобразили смежные отрезки АВ и АС, где точка А — общий конец.

Прямая — это «не кривая». Более точное определение вряд ли можно сформулировать.

Когда мы рисуем прямую на листе бумаги, мы изображаем только ее часть, потому что прямая не имеет начала и конца.

Обозначать прямые принято малыми латинскими буквами (a, b,c), но можно и большими латинскими буквами (АВ, CD, MN). Точки всегда обозначают большими латинскими буквами (А, В, С).

Два варианта расположения точек относительно прямой:

  1. Точки лежат на данной прямой. Или еще говорят, что прямая проходит через эти точки — на рисунке выше такими точками являются А и В. При решении задач для краткости используют запись A ∈ a (читается так: точка А принадлежит прямой a или точка А лежит на прямой a), аналогично будет и для точки В (B ∈ b).
  2. Точки не лежат на данной прямой. Говорят так: прямая не проходит через эти точки — на рисунке такими точками являются С и D. При решении задач для краткости используют запись C ∉ a (читается так: точка С не принадлежит прямой a или точка С не лежит на прямой a), аналогично будет и для точки D (D ∉ a).

Важно знать

Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Если рассмотреть две прямые, то возможны два варианта их расположения:

  1. Прямые пересекаются, то есть имеют одну общую точку.
    Для записи пересекающихся прямых используют специальный знак — ∩ , то есть a ∩ b (читают: прямая a пересекает прямую b).
  2. Прямые не пересекаются, то есть не имеют общих точек.
    Для записи не пересекающихся прямых используют специальный знак — ,
    то есть m n (читают: прямая m не пересекает прямую n).

Луч — это часть прямой, ограниченная с одной стороны. Луч имеет начало, но не имеет конца.

На рисунке точка О разбивает прямую АВ на две части:

Каждая из этих частей называется лучом, а точка О является началом одного и другого луча.

Назовем получившиеся лучи:

  • Луч ОА, точка О — начало луча ОА; конца у луча ОА нет.
  • Луч ОВ, точка О — начало луча ОВ; конца у луча ОВ нет.

Лучи ОА и ОВ принадлежат одной прямой АВ. Лучи ОА и ОВ имеют общее начало (точка О). Лучи ОА и ОВ противоположно направлены. При таких условиях лучи ОА и ОВ называются дополнительными.

Плоскость — это бесконечная поверхность, к которой принадлежат все прямые, которые проходят через какие-либо две точки плоскости

Классификация треугольников по их сторонам

Для классификации треугольников можно использовать их типологию.

Один из распространенных типов — прямоугольный треугольник. Если один из углов прямой, то это накладывает определенные свойства на треугольник. Прямоугольный треугольник — это также половина прямоугольника.

Свойства прямоугольного треугольника

  1. Теорема Пифагора сумма длин квадратов катетов равна квадрату гипотенузы
  2. Свойство медианы: медиана, проведенная из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.

С прямоугольных треугольников начинается изучение тригонометрии. Можно измерять углы с помощью отношений, использовать понятия синуса, косинуса. Помним, что угол можно задать двумя числами, их отношением.

Если две стороны треугольника равны, то это равнобедренный треугольник — и тогда у него есть ось симметрии. Если нарисовать такой треугольник и сложить лист пополам, то две части треугольника совпадут. Эта особенность дает треугольнику определенные свойства.

Симметричный треугольник, у которого все углы и стороны равны — это равносторонний треугольник. У таких треугольников три оси симметрии. Это значит, что если мы повернем треугольник на 60 градусов, то получим точно такой же треугольник.

Такой треугольник задается одним параметром — длиной стороны. Она полностью определяет все другие значения и размеры в этом треугольнике.

От правильного треугольника может плавно перейти к правильным многоугольникам. У треугольника 3 угла, у четырехугольника — 4, а у пятиугольника — 5 углов. У многоугольника много углов

Треугольник Рело

Как ни удивительно звучит, но с помощью дрели можно просверлить квадратное отверстие, а помогает в этом треугольник Рело. Он представляет собой область, образованную посредством пересечения 3 равных окружностей, центры которых являются вершинами правильного треугольника, а радиусы равны его стороне.

Сам треугольник Рело назван по фамилии немецкого ученого-инженера, который первым наиболее детально исследовал его особенности и использовал для своих механизмов на рубеже XIX-XX в. в., хотя его удивительные свойства были известны еще Леонардо да Винчи. Кто бы ни был его первооткрывателем, в современном мире эта фигура нашла широкое применение в виде:

  • сверла Уаттса, которое позволяет сверлить отверстия практически идеальной квадратной формы, только с чуть закругленными краями;
  • медиатора, необходимого для игры на музыкальных щипковых инструментах;
  • кулачковых механизмов, используемых для создания зигзагообразных швов в швейных машинах, а также немецких часах;
  • стрельчатых арок, характерных для готического стиля в архитектуре.

Невозможные фигуры 

Отдельного внимания заслуживают так называемые невозможные фигуры – удивительные оптические иллюзии, которые на первый взгляд кажутся проекцией трехмерного объекта, но при ближайшем рассмотрении становятся заметны необычные соединения элементов. Наиболее популярными из их числа являются:

Трибар, созданный отцом и сыном Лайонелом и Роджером Пенроузами, который представляет собой изображение равностороннего треугольника, но имеет странные закономерности. Стороны, образующие верхнюю часть треугольника кажутся перпендикулярными, но правая и левая грани в нижней части также кажутся перпендикулярными. Если рассматривать каждую часть этого треугольника по отдельности, еще можно признать их существование, но в действительности такая фигура существовать не может, поскольку при ее создании были неправильно соединены правильные элементы.

Бесконечная лестница, авторство которой также принадлежит отцу и сыну Пенроузам, поэтому ее часто называют по их имени – «лестницей Пенроуза», а также «Вечной лестницей». На первый взгляд, она выглядит как обычная, ведущая вверх или вниз лестница, но при этом человек, шагающий по ней будет непрерывно подниматься (против часовой стрелки) или опускаться (по часовой стрелке). Если визуально путешествовать по такой лестнице, то по окончании «путешествия» взгляд останавливается в точке начала пути. Если бы такая лестница существовала в действительности, по ней пришлось бы подниматься и спускаться бесконечное число раз, что можно сравнить с бесконечным сизифовым трудом.

Невозможный трезубец – удивительный объект, глядя на который невозможно определить, где начинается средний зубец. Он также основан на принципе неправильных соединений, которые могут существовать только в двухмерном, но не трехмерном пространстве. Рассматривая части трезубца по отдельности, с одной стороны видны 3 круглых зуба, с другой стороны – 2 прямоугольных.

Таким образом, части фигуры вступают в своеобразный конфликт: во-первых, происходит смена переднего и заднего плана, во-вторых круглые зубцы в нижней части трансформируются в плоские в верхней.

Тип фигуры: песочные часы

Принято считать идеальным этот тип фигуры: одинаковые объемы бедер и груди при очень узкой ярко выраженной талии — обычно талия уже бедер более чем на 25 см. Линия бедер изогнутая, бюст и ягодицы круглые. Это — классическая женская фигура. Недостатки ее легко корректируются, все, что нужно — снизить количество подкожного жира. Ширина плеч у «песочных часов» обычно равняется ширине бедер, а талия очень узкая. Вообще фигура пропорциональная и гармоничная.

Жироотложение обычно происходит на бедрах и груди. Если есть избыточный вес, то он откладывается на бедрах в виде «ушек» и «галифе». Самое главное — скорректировать питание, потому что главная задача «песочных часов» — снизить количество жира, сохраняя при этом и так присущую этой фигуре плавность линий. При упражнениях главное — укрепить мускулатуру, не меняя при этом пропорций. Лучше всего тренироваться 3 раза в неделю, через день. Очень полезна такому типу фигуры кардионагрузки — бег, танцевальная аэробика, велотренажер, степпер, ходьба.

Питание для «песочных часов»:

Главное правило — следить за сбалансированностью рациона и не допускать голод, который чреват перееданием и набором веса.

Делай 1-2 легких перекуса между завтраком и ужином, чтобы избежать скачков сахара в течение дня.

Избегай «слизеобразующих» продуктов во второй половине дня — это авокадо, орехи, крупы, кунжут.

Если ты не можешь исключить сахар полностью, следи за его количеством и качеством: выбирай натуральные составы, замени его стевией или медом.

Не ешь фрукты и десерты после 16.00.

Наибольший вред принесут сладости, жирная и острая пища. Рекомендованы медленные углеводы: крупы, картофель, рис, цельнозерновой хлеб. Лучшая основа для рациона — молочные продукты, рыба, овощи и фрукты.

Тренировка по типу фигуры «песочные часы»:

Твои активности должны быть направлены на ускорение обмена веществ и сохранение талии — это залог гармоничности пропорций. Оптимальны танцы, функциональный тренинг, кардио средней интенсивности, круговые тренировки.

Талия почти не полнеет — зато раздаться могут грудь, руки, бедра, ягодицы. Все девушкам-«песочным часам» рекомендуется упирать на кардио: бег, ходьбу, велосипед. «Песочные часы»  набирают вес равномерно, поэтому им подходят тренировки с сопротивлением и кардио. Им следует избегать чрезмерного рельефа и перекачанности, их цель — подтянутость.

Ваше кардио:

  • плавание
  • танцы
  • медленный бег
  • велосипед с легким сопротивлением.

Вес у «песочных часов» набирается в области бедер, ягодиц, живота и рук, поэтому следует сконцентрироваться именно на этих группах мышц. Советуем все тренировки проводить в высоком темпе.

Пресс

Область живота для многих «песочных часов» — это настоящая головная боль. Сконцентрироваться нужно на нескольких вариациях скручиваний.

Подъем корпуса и ног, лежа на боку. Лягте на бок, положив руку за голову, а другую на талию. Поднимайте одновременно корпус и ноги. Делайте 2-3 подхода по 8-20 повторений.

Скручивание с гантелями с прямыми ногами. Исходное положение — лежа, руки с гантелями выпрямлены за головой, ноги находятся под углом в 45 градусов. На вдохе поднимите руки с гантелями вверх, ноги поднимите до угла 90 градусов. Потом вернитесь в исходное положение. Начинайте с 1 подхода в 15 повторений, доведите до 3 подходов по 15 повторений.

«Коснись пальца». Лягте на пол, на вдохе правой рукой коснитесь носка правой ноги, подняв ногу на 90 градусов. Потом вернитесь в исходное положение. Сделайте 10-15 повторений с каждой стороны.

  • Берпи
  • Планка
  • Отжимания
  • Приседания с фронтальным ударом ногой
  • Вертикальная тяга в наклоне с  амортизатором
  • Кранчи с прямыми руками и согнутыми ногами

Как одеваться с типом фигуры «песочные часы»?

Вы знаете это и без нас: платья, подчеркнутая талия, приталенные блузки. Лучше всего — фасоны, которые мягко обволакивают тело и подчеркивают изгибы. Не пренебрегайте поясами и ремнями на талии, особенно вам подойдут широкие. Но вам подходит практически любая одежда и аксессуары! Ткани — трикотаж, эластичные ткани, откажитесь от тяжелых, плотных материй. Вам идут юбки-карандаш, юбки-тюльпан, обтягивающие брюки, леггинсы.

«Песочные часы»: знаменитости

Классические кинозвезды пятидесятых-шестидесятых — Софи Лорен, Мэрилин Монро, ну, вы поняли, а также:

  • Ким Кардашьян
  • Скарлетт Йоханссон
  • Сальма Хайек
  • София Вергара

Еще интересное по теме:

— Правда за пределами инстаграма: фитнес-тренер раскрывает тайны идеального тела

— Как с течением времени менялся идеал мужского тела

— Типы телосложения: Мезоморф, эктоморф, эндоморф.

— Идеальная фигура десятых

Видео по теме:

Идеальные объекты

Геометрия — раздел математики, который изучает пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Все эти фигуры обладают двумя свойствами:

  • симметрия
  • равенство или подобие составных частей.

Равенство частей можно заметить у квадрата, ромба или равностороннего треугольника — равенство сторон. Также у них есть одна или несколько линий симметрии.

У шара бесконечное количество осей симметрии и плоскостей симметрии, но отсутствует равенство или подобие составных частей.

Все типы правильных многогранников обладают симметрией, при этом составлены из некоторого количества одинаковых фигур (треугольников, квадратов, пятиугольников).

Из всего этого можно сделать вывод, что отличить правильную геометрическую фигуру от произвольной совсем не сложно. Достаточно выяснить, имеет ли данная фигура оси или плоскости симметрии, а также из каких повторяющихся частей она состоит.

Таким образом, именно по наличию или отсутствию симметрии и равенства или подобия составных частей можно оценивать различные объекты окружающего мира на соответствие правильному геометрическому виду.

Например, возьмем два треугольника. На первый взгляд, они похожи, но у одного из них одна сторона вогнутая, вторая — выпуклая. А у другого наоборот.

Математика занимается идеальными объектами и делает о них некие заключения, которые называют теоремами. Эти треугольники похожи, и о них можно сделать близкое заключение, которое будет описывать свойства обоих.

Например, теорема Пифагора звучит так: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. А затем это свойство можно применять при решении задач и составлении чертежей.

Четырехугольники

Про четырехугольники мы много говорим на уроках в школе: прямоугольник, квадрат, ромб.

Но говорим о них не в общем случае, как для треугольников (такие вещи, как теорема синусов, косинусов), а можем формулировать только какие-то свойства для определенных видов четырехугольников.

Четырехугольникам лучше уделить побольше времени — у каждого из них есть особые свойства, которые не пригодятся для других фигур. Поэтому каждый четырехугольник лучше внимательно изучить на уроке или почитать в наших материалах:

  • площадь фигуры
  • периметр фигуры
  • площадь прямоугольника
  • периметр прямоугольника
  • площадь квадрата
  • периметр квадрата
  • параллелограмм
  • прямоугольный параллелепипед.

Тип 2: треугольники

Треугольники — самые простые многоугольники. У них три стороны и три угла, но они могут отличаться друг от друга. Возможно, вы слышали о прямоугольных или равнобедренных треугольниках — это разные типы треугольников, но все они имеют три стороны и три угла.

Потому что треугольников много, Существуют лоты важных формул треугольника, многие из них сложнее других. Основы включены ниже, но даже основы полагаются на знание длины сторон треугольника. Если вы не знаете стороны треугольника, вы все равно можете рассчитать его различные аспекты, используя углы или только некоторые из сторон.

Определения

  • Вершина: точка, где встречаются две стороны треугольника
  • Основание: любая из сторон треугольника, обычно та, которая нарисована внизу.
  • Высота: расстояние по вертикали от основания до вершины, с которой она не связана

Формулы

  • Площадь = $ { base * height} / 2 $
  • Периметр = $ сторона a + сторона b + сторона c $

Особенности работы с геометрическими фигурами в разном возрасте

Фигурные поделки доступны для занятий с детьми с раннего возраста.

Для детей 2-4 лет задание должно включать не более 5 деталей

В противном случае ребенок быстро устает, запутывается, его внимание рассеивается. Чтобы сделать поделку, ребенку необходимо подготовить готовые элементы поделки из цветной бумаги и предложить основу с готовой наброской

Или показывает последовательность работы.
Дети в возрасте 4-5 лет могут самостоятельно вырезать простые листы бумаги, но под присмотром взрослых. Для работы ребенку нужны ножницы с закругленными концами. Дети этого возраста умеют делать поделки средней сложности.
Ученики начальных классов самостоятельно справляются с достаточно сложными задачами.

Чтобы заинтересовать ребенка созданием поделки из геометрических фигур, вы можете предложить ему интерактивную игру по мотивам сказки «Мышь и карандаш». Эту идею можно осуществить дома на уроках в детском саду. Необходимо заранее подготовить элементы, из которых состоит кошка: круги, овалы и треугольники.

Увлекательная игра поможет сделать творческий процесс более активным детям.

Свойства треугольников

Раз треугольник можно задать тремя элементами, значит их можно классифицировать. Если два треугольника похожи, значит у них есть общие свойства.

Треугольник можно составить совсем не из любых трех отрезков: они должны удовлетворять важному свойству — неравенству треугольника. Кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина отрезка, который их соединяет

Из этого следует, что любой другой путь между двумя точками будет длиннее, чем этот отрезок

Кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина отрезка, который их соединяет. Из этого следует, что любой другой путь между двумя точками будет длиннее, чем этот отрезок.

Неравенство треугольника

Сумма любых двух сторон треугольника больше его третьей стороны.

Еще одно свойство верное для всех треугольников: сумма всех углов треугольника составляет половину полного оборота. Или по-другому: сумма углов треугольника — два прямых угла.

Мы знаем, что две геометрические фигуры считают равными, если их можно совместить наложением. Это справедливо и для треугольников. Равные фигуры имеют равные размеры и формы. Значит, если два треугольника равны — элементы одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.

Равенство треугольников ABC и A1B1C1 обозначается так: ΔABC = ΔA1B1C1.

Есть даже специальные теоремы про равенство треугольников.

Первый признак равенства треугольников звучит так:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны

ΔABC = ΔA1B1C1, так как AC = A1C1, AB = A1B1 и ∠A = ∠A1 (∠A лежит между сторонами AC и AB, а ∠A1 между A1C1 и A1B1).

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

ΔABC = ΔA1B1C1, так как AB = A1B1,  ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

ΔABC = ΔA1B1C1, так как AC = A1C1, AB = A1B1 и BC = B1C1.

Из теоремы следует, что треугольник — жесткая фигура, то есть фигура, которую невозможно деформировать.

Как объяснить детям геометрические фигуры | Дошколенок

Основы геометрии дети осваивают в 3-4 года. К 5 годам они должны уверенно различать и показывать круг, овал, треугольник, квадрат, ромб. Соответственно они должны понимать, что такой угол и различать величину предмету, высоту и ширину предметов, и рисовать их на бумаге.

1. Сравнивая разные характеристики окружающих предметов, находя сходство и различия, ребенок развивает свои аналитические способности, учится пространственному мышлению.

2. Знание основ геометрии полезно для общего развития ребенка, расширения его кругозора и расширения словарного запаса.

3. Без знания геометрических фигур ребенок не сможет добиться успеха и в других видах деятельности: конструирование, рисование.

Знакомить малыша с формами можно различными способами, но, пожалуй, самый интересный и эффективный — в игровой форме.

Нас окружают самые разнообразные фигуры, большинство из них имеют четкую геометрическую форму хотя бы одной поверхности. Уметь различать формы предметов — это большой прогресс для малыша. Именно для этого предназначена игра с карточками.

Как играть?

Для начала разрежьте карточки и разложите по отдельным конвертам. Игр с карточками несколько.

1. Разложи правильно

Начните с двух фигур. Например с треугольника и круга. Перемешайте карточки с этими фигурами и предложите малышу разложить их в 2 стопки по фигуре. Для первого занятия достаточно по 3 картинки. Затем количество картинок увеличивайте.

Постепенно прибавляйте фигуры. Не усложняйте задание, пока ребенок не справляется с предыдущим.

2. Что лишнее?

Выберите 5 карточек. Например, 4 квадратные фигуры и 1 овальную. Выложите их перед малышом и предложите малышу убрать лишнюю картинку. Это игра развивает глазомер, внимательность, логическое мышление и память.

3. Найди похожее

С детками от 3 лет уже можно играть в аналогии. Дайте ребенку в руки карточку с круглой фигурой и предложите поискать в доме похожие по форме предметы. Например, часы, зеркало, тарелку, рисунок на одежде, светильник и так далее. То же самое проделайте и с другими фигурами.

4. Игры с иллюстрациями

В детских книжках всегда много иллюстраций. Особенно подходят для этой игры сюжетные картинки.

Рассматривая книжку с картинками, предложите малышу найти, к примеру, все прямоугольные или овальные предметы на картинке: детская песочница, окно, стол и так далее.

Геометрические фигуры. Шаблоны для вырезания из бумаги: распечатать, разрезать и готово!

Здравствуйте, друзья! Как я и обещала в прошлый раз сегодня мы подготовили для детей шаблоны геометрических фигур для вырезания из бумаги. Среди них вы найдете круг, треугольник, квадрат, овал и прямоугольник. В этот раз все геометрические фигуры раскрашены в различные яркие цвета. Если вам нужны они просто белые, бесцветные, то советую посмотреть нашу прошлую статью.

Для самых маленьких деток можно распечатать крупные рисунки, по два на листике. Такие шаблоны им будет вырезать намного легче. Для детей постарше есть более мелкие изображения, которых на одном листике расположено намного больше и разного размера.

Кроме обучения детей навыку вырезания наши геометрические фигуры могут выполнять еще одну полезную функцию. Их можно порекомендовать распечатать и вырезать воспитателям, учителям или родителям для того, чтобы использовать их в качестве удобного дидактического материала при занятиях с детьми математикой. Таким образом можно решать несложные задачки складывая фигуры разных размеров и цветов.

Еще из них можно делать несложные аппликации, например, из разных зеленых треугольников можно сложить елочку, а из голубых кругов снеговика.

Для того, чтобы геометрические фигуры прослужили как можно дольше их можно вырезать и наклеить на картон и, например, обклеить со всех сторон скотчем. И как всегда напоминаю, что перед тем как сохранить шаблоны к себе на компьютер не забудьте открыть их в полном размере, кликнув по ним мышкой.

dochkiisinochki.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock
detector